1 氢原子与碱金属原子

1.1 氢原子

1.1.1 氢原子的定态 Schrodinger 方程

1. 定态 Schrodinger 方程:

2. Laplace 算子:

3. 分离变量:

4. 方位角部分:

5. 极角部分:

6. 径向部分:

7. 波函数:

1.1.2 三个量子数的物理意义

1. 主量子数 和能级: (1) 的本征方程:

   (2) 能级:

   (3) 能级的简并度(同一能级，氢原子有个本征态):

2. 角量子数 和轨道角动量: (1) 的本征方程:

(2) 轨道角动量的大小:

3. 磁量子数 和轨道角动量空间取向: (1) 的本征方程:

(2) 轨道角动量 分量的大小:

1.1.3 电子概率密度分布

1. 空间概率分布:

2. 角向概率分布:

3. 径向概率分布:

   有 个极大值点， 个极小值点。主峰位置随 增加向原子核移近。 值越小，最内层的峰离核越近，说明对同一 值，随着 的减小，电子出现在原子核附近的概率逐渐增大。

4. 电子径向坐标的平均值:

1.1.4 定态的宇称

1. 空间反演算符:

2. 氢原子定态的宇称取决于 :

1.1.5 跃迁的选择定则

1. 感生偶极矩算符:

2. 电偶极跃迁矩阵元:

   在 和 间发生跃迁的概率正比于 。

3. 发生电偶极辐射跃迁的条件

(1) 方位角部分:

磁量子数的选择定则:

(2) 极角部分:

角量子数的选择定则 (Laporte 选择定则):

1.2 碱金属原子

1. 碱金属原子能级的粗结构: (1) 对同一主量子数 ，碱金属能级位置低于氢原子。 (2) 对同一主量子数 ，不同角量子数 导致能级分裂。

2. 碱金属原子能级低于H的原因: (1) 原子实极化：价电子对原子实有极化作用。 (2) 轨道贯穿：价电子有一定概率出现在原子实内。

   原子实的有效电荷数 ，使得碱金属原子能量降低.(用量子力学的观点就是价电子的波函数在原子实内部不为零)

3. 碱金属原子的能级和光谱项:

不同能级之间的跃迁遵守电偶极跃迁规则. 跃迁前后角量子数𝑙 的变化满足Δ𝑙 = ±1. 图中由𝑛𝑝 向2𝑠 跃迁的，即𝑛𝑝 → 2𝑠 为主线系，𝑛𝑠 → 2𝑝 为第二辅线系，𝑛𝑑 → 2𝑝为第一辅线系，𝑛𝑓 → 3𝑑 为柏格曼系. 2𝑝 向基态2𝑠 的跃迁产生的谱线称为共振线.

1.3 电子的自旋与磁矩

1.3.1 电子轨道的磁矩

1. 电子轨道的磁矩:

2. 电子轨道的磁矩的大小:

3. 电子轨道的磁矩 分量的大小:

1.3.2 Stern-Gerlach 实验

1. 作用于原子磁偶极矩上的力:

2. 横向位移:

1.3.3 电子自旋的磁矩

1. 电子自旋角动量量子数:

2. 电子自旋角动量: (1) 电子自旋角动量的大小:

   (2) 电子自旋角动量 分量的大小:

3. 电子自旋的磁矩: (1) 电子自旋磁矩和自旋角动量的关系:

   (2) 电子自旋磁矩的大小:

4. 电子轨道和自旋磁矩的公式:

5. 电子量子态的波函数:

1.4 碱金属原子光谱的精细结构

1.4.1 原子的总角动量

1. 原子的总角动量:

2. 总角动量的大小:

3. 总角动量 分量的大小:

4. 耦合不改变碱金属原子量子态的数目:

1.4.2 自旋-轨道相互作用

自旋 − 轨道耦合 使得 同一l能级进一步分裂为两个值 （能级精细结构）

j 值大的能级高， j 值小的能级低

s 态不分裂

1. 原子实在电子处产生的磁感应强度:

   在原子实静止系中，Thomas 给出右面应乘 1/2:

2. 自旋-轨道耦合能:

3. 自旋-轨道耦合能在原子定态中的平均值:

1.4.3 碱金属原子光谱的精细结构

1. 碱金属原子总能量:

2. 双重能级:

3. 双重能级间隔:

4. 波数间隔:

5. 精细能级跃迁的选择定则:

6. 原子能级符号:

图 1: 锂原子能级能级的精细结构及允许跃迁

1.4.4 碱金属原子能级精细结构的几个特点：

1. 双重能级分裂的大小与有效核电荷数 的四次幂成正比，随着原子序数的增大， 也增大，所以高原子序数 的原子双重能级分裂大.
2. 能级不存在精细分裂，因为 时，不存在轨道运动产生的磁场，但通常 仍保留多重数为2 的标记.S
3. 反比于 和，对同一原子，随着量子数𝑛 及𝑙 的增大，精细分裂迅速减小.
4. 双重能级中，具有较高 值的能级，能量较高.

1.5 氢原子光谱的精细结构

1. Heisenber 的相对论修正:

2. Dirac 的自旋-轨道耦合修正:

3. 氢原子总能量:

   对于同一n，j相同的能级是简并的

4. Lamb 移位: (1) 真空极化：交换虚光子产生的虚正负电子对 对原子核电荷有屏蔽作用。 (2) 自能作用：电子运动产生和吸收虚光子使电子质量增加。