量子力学核心问题清单

复习时拿来逐项自查。能写出公式以后，再试着讲清推导条件和物理含义。

一、 数学基础与算符理论

1. 狄拉克记号：如何用左矢、右矢表示薛定谔方程？

2. 算符性质：

   • 证明厄米算符的本征值为实数，且不同本征值的本征函数相互正交。
   • 什么是幺正算符？它在表象变换中的作用是什么？

3. 对易关系与不确定度：

   • 如何从对易关系 推导广义海森堡不确定关系？
   • 计算坐标与动量的对易关系 及其物理意义。

4. 海森堡绘景：

   • 写出算符随时间演化的方程。
   • 比较薛定谔绘景与海森堡绘景的异同。

5. 能量-时间不确定关系： 中的 与坐标不确定度 有何本质区别？

6. 最小不确定波包：什么样的波函数能达到不确定关系的下限？

二、 基础势场与精确解

1. 一维谐振子：
   • 代数解法：利用升降算符 和 推导能量量子化条件 。
   • 计算谐振子基态的不确定度关系 。
2. 自由粒子：
   • 写出自由粒子的波函数，并讨论其归一化问题（ 函数归一化）。
3. 势垒与双井势：
   • 画出对称双井势的基态与第一激发态波函数示意图，讨论能级分裂与隧道效应。
4. 守恒量与演化：
   • Ehrenfest 定理：证明算符期望值随时间的变化规律，并讨论其经典极限。
   • 概率流守恒：从薛定谔方程出发证明连续性方程 。

三、 微扰论与近似方法

1. 非简并微扰论：
   • 推导一阶能量修正和一阶波函数修正。
2. 简并微扰论：
   • 简并时，非简并微扰公式为什么失效？如何在简并子空间中选取合适的基底，求一阶能量修正？
3. WKB 近似：
   • 写出 WKB 近似下波函数的形式。
   • 讨论在经典转折点附近 WKB 失效的原因及连接公式的思路。
4. 变分法与原子分子：
   • LCAO-MO：以 为例，说明如何利用原子轨道线性叠加处理分子轨道。
   • 负氢离子 ()：讨论其稳定性的变分处理思路。
   • 多电子原子：以 原子为例，简述电子排布与全同粒子波函数的构造。

四、 全同粒子与量子动力学

1. 全同粒子：
   • 写出玻色子与费米子波函数的交换对称性要求。
   • 什么是泡利不相容原理？
2. 时间相关微扰论：
   • 如何处理受激辐射？简述其半经典处理方法。
   • 推导一阶跃迁概率，说明得到费米黄金定则时用了哪些条件。
3. Berry 相位：
   • 什么是绝热演化？
   • 推导 Berry 相位的表达式及其几何意义。

五、 角动量与自旋

1. Pauli 矩阵：
   • 写出 矩阵。
   • 证明 Pauli 矩阵的对易关系与反对易关系。
2. 占有数表象：
   • 简述产生算符与湮灭算符在多粒子态中的作用。

六、 散射理论

1. Lippmann-Schwinger 方程：
   • 如何从定态薛定谔方程导出 Lippmann-Schwinger 方程？
2. 微分散射截面：
   • 定义微分散射截面 ，并推导其与散射振幅 的关系。
3. Born 近似：
   • 写出一阶 Born 近似下散射振幅的计算公式。
   • 讨论一阶 Born 近似的适用条件。
4. 光学定理：
   • 总散射截面与前向散射振幅的虚部有什么关系？写出关系式，并说明散射振幅的约定。
   • 从分波展开推导这个关系，说明它与概率流守恒的联系。

散射部分可对照 David Tong 的量子力学讲义 中的散射章节检查推导。